Лабораторная работа №5

Модель хищник-жертва. Вариант №32

Мажитов М. А.

Российский университет дружбы народов, Москва, Россия

9 марта 2024

Докладчик

  • Мажитов Магомед Асхабович
  • Студент группы НКНбд-01-21
  • Студ. билет 1032216461
  • Российский университет дружбы народов

Цели

Изучить жесткую модель хищник-жертва и построить эту модель.

Теоретическое введение

  • Модель Лотки—Вольтерры — модель взаимодействия двух видов типа «хищник — жертва», названная в честь её авторов, которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга. Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник — жертва», «паразит — хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами. [3]

Теоретическое введение

Данная двувидовая модель основывается на следующих предположениях [3]:

  1. Численность популяции жертв x и хищников y зависят только от времени (модель не учитывает пространственное распределение популяции на занимаемой территории)

  2. В отсутствии взаимодействия численность видов изменяется по модели Мальтуса, при этом число жертв увеличивается, а число хищников падает

Теоретическое введение

  1. Естественная смертность жертвы и естественная рождаемость хищника считаются несущественными

  2. Эффект насыщения численности обеих популяций не учитывается

  3. Скорость роста численности жертв уменьшается пропорционально численности хищников

Теоретическое введение

$$ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = (-ax(t) + by(t)x(t)) \\ \frac{dy}{dt} = (cy(t) - dy(t)x(t)) \end{cases} $$

В этой модели x – число жертв, y - число хищников. Коэффициент a описывает скорость естественного прироста числа жертв в отсутствие хищников, с - естественное вымирание хищников, лишенных пищи в виде жертв.

Теоретическое введение

Вероятность взаимодействия жертвы и хищника считается пропорциональной как количеству жертв, так и числу самих хищников (xy). Каждый акт взаимодействия уменьшает популяцию жертв, но способствует увеличению популяции хищников (члены  − bxy и dxy в правой части уравнения).

Теоретическое введение

Математический анализ этой (жёсткой) модели показывает, что имеется стационарное состояние, всякое же другое начальное состояние приводит к периодическому колебанию численности как жертв, так и хищников, так что по прошествии некоторого времени такая система вернётся в изначальное состояние.

Стационарное состояние системы (положение равновесия, не зависящее от времени решения) будет находиться в точке $x_0=\frac{c}{d}, y_0=\frac{a}{b}$.

Теоретическое введение

Если начальные значения задать в стационарном состоянии x(0) = x0, y(0) = y0, то в любой момент времени численность популяций изменяться не будет. При малом отклонении от положения равновесия численности как хищника, так и жертвы с течением времени не возвращаются к равновесным значениям, а совершают периодические колебания вокруг стационарной точки. Амплитуда колебаний и их период определяется начальными значениями численностей x(0), y(0). Колебания совершаются в противофазе.

Задачи

  1. Построить график зависимости численности хищников от численности жертв

  2. Построить график зависимости численности хищников и численности жертв от времени

  3. Найти стационарное состояние системы

Задание

Вариант 32:

Для модели «хищник-жертва»:

$$ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = -0.25x(t) + 0.025y(t)x(t) \\ \frac{dy}{dt} = 0.45y(t) - 0.045y(t)x(t) \end{cases} $$

Постройте график зависимости численности хищников от численности жертв, а также графики изменения численности хищников и численности жертв при следующих начальных условиях: x0 = 8, y0 = 11. Найдите стационарное состояние системы.

Выполнение лабораторной работы

Математическая модель

Опираясь на теоретический материал построим модели на языке Julia.

Результат работы программы Julia

График зависимости численности хищников от численности жертв

Результат работы программы Julia

График зависимости численности хищников и численности жертв от времени

Результат работы программы Julia

Стационарное состояние системы

Вывод

В ходе выполнения лабораторной работы была изучена модель хищник-жертва и построена модель на языках Julia.

Список литературы. Библиография

[1] Документация по Julia: https://docs.julialang.org/en/v1/

[2] Решение дифференциальных уравнений: https://www.wolframalpha.com/

[3] Модель Лотки—Вольтерры: https://math-it.petrsu.ru/users/semenova/MathECO/Lections/Lotka_Volterra.pdf