Модель хищник-жертва. Вариант №32
Мажитов М. А.
Российский университет дружбы народов, Москва, Россия
9 марта 2024
Изучить жесткую модель хищник-жертва и построить эту модель.
Данная двувидовая модель основывается на следующих предположениях [3]:
Численность популяции жертв x и хищников y зависят только от времени (модель не учитывает пространственное распределение популяции на занимаемой территории)
В отсутствии взаимодействия численность видов изменяется по модели Мальтуса, при этом число жертв увеличивается, а число хищников падает
Естественная смертность жертвы и естественная рождаемость хищника считаются несущественными
Эффект насыщения численности обеих популяций не учитывается
Скорость роста численности жертв уменьшается пропорционально численности хищников
$$ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = (-ax(t) + by(t)x(t)) \\ \frac{dy}{dt} = (cy(t) - dy(t)x(t)) \end{cases} $$
В этой модели x – число жертв, y - число хищников. Коэффициент a описывает скорость естественного прироста числа жертв в отсутствие хищников, с - естественное вымирание хищников, лишенных пищи в виде жертв.
Вероятность взаимодействия жертвы и хищника считается пропорциональной как количеству жертв, так и числу самих хищников (xy). Каждый акт взаимодействия уменьшает популяцию жертв, но способствует увеличению популяции хищников (члены − bxy и dxy в правой части уравнения).
Математический анализ этой (жёсткой) модели показывает, что имеется стационарное состояние, всякое же другое начальное состояние приводит к периодическому колебанию численности как жертв, так и хищников, так что по прошествии некоторого времени такая система вернётся в изначальное состояние.
Стационарное состояние системы (положение равновесия, не зависящее от времени решения) будет находиться в точке $x_0=\frac{c}{d}, y_0=\frac{a}{b}$.
Если начальные значения задать в стационарном состоянии x(0) = x0, y(0) = y0, то в любой момент времени численность популяций изменяться не будет. При малом отклонении от положения равновесия численности как хищника, так и жертвы с течением времени не возвращаются к равновесным значениям, а совершают периодические колебания вокруг стационарной точки. Амплитуда колебаний и их период определяется начальными значениями численностей x(0), y(0). Колебания совершаются в противофазе.
Построить график зависимости численности хищников от численности жертв
Построить график зависимости численности хищников и численности жертв от времени
Найти стационарное состояние системы
Вариант 32:
Для модели «хищник-жертва»:
$$ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = -0.25x(t) + 0.025y(t)x(t) \\ \frac{dy}{dt} = 0.45y(t) - 0.045y(t)x(t) \end{cases} $$
Постройте график зависимости численности хищников от численности жертв, а также графики изменения численности хищников и численности жертв при следующих начальных условиях: x0 = 8, y0 = 11. Найдите стационарное состояние системы.
Опираясь на теоретический материал построим модели на языке Julia.
В ходе выполнения лабораторной работы была изучена модель хищник-жертва и построена модель на языках Julia.
[1] Документация по Julia: https://docs.julialang.org/en/v1/
[2] Решение дифференциальных уравнений: https://www.wolframalpha.com/
[3] Модель Лотки—Вольтерры: https://math-it.petrsu.ru/users/semenova/MathECO/Lections/Lotka_Volterra.pdf